65歳になったのに、国民健康保険税でも介護分を支払っています。二重払いにならないのですか?

二重払いにはなりません。
二重払いにならないようにあらかじめ計算しています。

40歳から64歳までの方は、加入している医療保険料と合算して介護保険料を納めていただきます。
65歳以上の方は、65歳になられた月から医療保険料とは別に介護保険料として単独で柏崎市に納めていただきます。

柏崎市の国民健康保険に加入されている方は、あらかじめその年度に65歳に到達することが分かっているため、誕生月の前月までの介護保険料を3月分まで均等になるよう計算しています。

国民健康保険税の計算は、加入者の所得に応じて計算される「所得割」と加入者数に応じて計算される「均等割」と1世帯あたりで決まる「平等割」の合計で計算されます。
詳しい計算方法は、関連リンクの「国民健康保険税の計算方法と納付方法」をご覧ください。

市国民健康保険以外の医療保険は、その医療保険によって取り扱いが違うため、お勤めの会社などにご確認ください。